Qual é o valor da integral de \(\int 2x^3 dx\)? a) \(\frac{2}{3}x^4 + C\) b) \(\frac{1}{2}x^4 + C\) c) \(\frac{1}{3}x^4 + C\) d) \(x^4 + C\)

Para resolver a integral \(\int 2x^3 dx\), vamos aplicar a regra básica de integração, que é: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] onde \(n\) é um número real diferente de -1. No caso da integral \(\int 2x^3 dx\), temos: 1. O coeficiente 2 pode ser colocado para fora da integral: \[ 2 \int x^3 dx \] 2. Agora, aplicamos a regra de integração: \[ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \] 3. Multiplicando pelo coeficiente 2: \[ 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \] 4. Não podemos esquecer da constante de integração \(C\). Portanto, a integral \(\int 2x^3 dx\) é: \[ \frac{1}{2}x^4 + C \] Assim, a alternativa correta é: b) \(\frac{1}{2}x^4 + C\).