Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^2 + 3x - 1 no intervalo de 1 a 4? a) 47 b) 53 c) 59 d) 64

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^2 + 3x - 1 \) no intervalo de 1 a 4, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^2 + 3x - 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \] 2. Calcular a integral definida de 1 a 4: \[ \int_{1}^{4} (2x^2 + 3x - 1) \, dx = F(4) - F(1) \] - Calculando \( F(4) \): \[ F(4) = \frac{2}{3}(4^3) + \frac{3}{2}(4^2) - 4 = \frac{2}{3}(64) + \frac{3}{2}(16) - 4 = \frac{128}{3} + 24 - 4 = \frac{128}{3} + \frac{72}{3} - \frac{12}{3} = \frac{188}{3} \] - Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{2}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2) - 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{9}{6} - \frac{6}{6} = \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_{1}^{4} (2x^2 + 3x - 1) \, dx = F(4) - F(1) = \frac{188}{3} - \frac{7}{6} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum: \[ \frac{188}{3} = \frac{376}{6} \] Então: \[ \frac{376}{6} - \frac{7}{6} = \frac{369}{6} = 61,5 \] Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar novamente: Calculando \( F(4) \): \[ F(4) = \frac{2}{3}(64) + \frac{3}{2}(16) - 4 = \frac{128}{3} + 24 - 4 = \frac{128}{3} + \frac{72}{3} - \frac{12}{3} = \frac{188}{3} \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{2}{3} + \frac{9}{6} - \frac{6}{6} = \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \] Substituindo: \[ \int_{1}^{4} (2x^2 + 3x - 1) \, dx = \frac{188}{3} - \frac{7}{6} = \frac{376}{6} - \frac{7}{6} = \frac{369}{6} = 61,5 \] Parece que não temos uma opção correta entre as alternativas dadas. Você pode verificar os cálculos ou as opções novamente?