Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) + e^x \), vamos aplicar as regras de derivação. 1. Derivada de \( \ln(x^2 + 1) \): - Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \). - Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). - Portanto, a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) é: \[ \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] 2. Derivada de \( e^x \): - A derivada de \( e^x \) é simplesmente \( e^x \). Agora, somamos as duas derivadas: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x \] Analisando as alternativas: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x \) - Correta. b) \( \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x + 2x \) - Incorreta, adiciona um termo a mais. c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x + e^x \) - Incorreta, conta \( e^x \) duas vezes. d) \( \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x + \ln(x^2 + 1) \) - Incorreta, adiciona \( \ln(x^2 + 1) \) que não é necessário. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} + e^x \).