Qual é a solução da equação diferencial ordinária y'' - y' - 2y = 0? a) y = e^x b) y = 2e^x c) y = e^x + 2e^x d) y = e^x - 2e^x

Para resolver a equação diferencial ordinária \( y'' - y' - 2y = 0 \), precisamos encontrar a solução geral. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. 1. Encontrar a equação característica: Substituímos \( y = e^{rx} \) na equação, o que nos dá a equação característica: \[ r^2 - r - 2 = 0 \] 2. Resolver a equação característica: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Isso nos dá as raízes: \[ r_1 = 2 \quad \text{e} \quad r_2 = -1 \] 3. Escrever a solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. Agora, analisando as alternativas dadas: a) \( y = e^x \) - Não é a solução correta. b) \( y = 2e^x \) - Não é a solução correta. c) \( y = e^x + 2e^x \) - Não é a solução correta. d) \( y = e^x - 2e^x \) - Não é a solução correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução geral encontrada. Portanto, parece que as opções não estão corretas em relação à equação dada. Você pode precisar verificar as alternativas ou a equação.