Qual é o resultado da integral definida de 0 a π/2 de sen(2x) dx? a) 1 b) 0 c) π/2 d) 2

Para resolver a integral definida de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada de \( \sin(2x) \). A antiderivada de \( \sin(2x) \) é \( -\frac{1}{2} \cos(2x) \). Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \, dx = \left[-\frac{1}{2} \cos(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2} \cos(\pi) = -\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{2} \] 2. Para \( x = 0 \): \[ -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) = -\frac{1}{2} \cos(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \] Agora, subtraímos os resultados: \[ \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Portanto, o resultado da integral definida é \( 1 \). A alternativa correta é: a) 1.