Qual é a derivada da função f(x) = e^x * ln(x)? a) f'(x) = e^(x) / x b) f'(x) = e^(x) * ln(x) c) f'(x) = e^x * (1 + ln(x)) d) f'(x) = e^x * (1 + 1/x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( u'(x) = e^x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} \] Isso pode ser simplificado para: \[ f'(x) = e^x \cdot \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \] Portanto, a alternativa correta é: d) \( f'(x) = e^x \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \)