Qual é o valor da integral definida de 0 a π/2 de sen(x) cos(x) dx? a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 2/3

Para resolver a integral definida de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\) de \(\sin(x) \cos(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx \] Agora, podemos calcular a integral: \[ \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C \] Agora, avaliamos a integral definida: \[ \left[-\frac{1}{4} \cos(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} \cos(\pi) - \left(-\frac{1}{4} \cos(0)\right) \] Sabendo que \(\cos(\pi) = -1\) e \(\cos(0) = 1\): \[ = -\frac{1}{4}(-1) - \left(-\frac{1}{4}(1)\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Portanto, o valor da integral definida é \(\frac{1}{2}\). A alternativa correta é: c) \( \frac{1}{2} \).