Qual é o resultado da integral definida de x^2 + 2x + 3 no intervalo de 0 a 2? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14

Para calcular a integral definida de \( x^2 + 2x + 3 \) no intervalo de 0 a 2, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 3 \): - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( 2x \) é \( x^2 \). - A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). - Portanto, a antiderivada completa é \( \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \). 2. Avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 2: - Primeiro, avaliamos em \( x = 2 \): \[ \frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 + 6 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + \frac{18}{3} = \frac{38}{3} \] - Agora, avaliamos em \( x = 0 \): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 + 3 \cdot 0 = 0 \] 3. Subtrair os resultados: \[ \frac{38}{3} - 0 = \frac{38}{3} \] Agora, precisamos converter \( \frac{38}{3} \) para um número decimal ou inteiro para comparar com as alternativas: \[ \frac{38}{3} \approx 12.67 \] Analisando as alternativas: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado da integral, que é aproximadamente 12.67. Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.