Qual é o valor da integral definida de x^2 + 2x + 3 no intervalo [1, 3]? a) 13 b) 17 c) 19 d) 23

Para calcular a integral definida de \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) da função \( f(x) \): \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C \] 2. Calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 3) \, dx = F(3) - F(1) \] 3. Calcular \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = \frac{27}{3} + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 \] 4. Calcular \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \] 5. Substituir na fórmula: \[ \int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 3) \, dx = 27 - \frac{13}{3} = \frac{81}{3} - \frac{13}{3} = \frac{68}{3} \approx 22.67 \] Como a resposta não está entre as opções, vamos verificar novamente. Na verdade, ao calcular a integral, o resultado correto é: \[ F(3) - F(1) = 27 - \frac{13}{3} = \frac{81}{3} - \frac{13}{3} = \frac{68}{3} \approx 22.67 \] Portanto, a resposta correta, considerando as opções dadas, é a mais próxima de 23. Assim, a alternativa correta é: d) 23.