Qual é o limite da função f(x) = (2x^2 + 3x - 1)/(x-2) quando x se aproxima de 2? a) 0 b) 3 c) 5 d) 7

Para encontrar o limite da função \( f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 2} \) quando \( x \) se aproxima de 2, vamos substituir \( x \) por 2 na função: 1. Primeiro, substituímos \( x \) por 2: \[ f(2) = \frac{2(2)^2 + 3(2) - 1}{2 - 2} = \frac{2(4) + 6 - 1}{0} = \frac{8 + 6 - 1}{0} = \frac{13}{0} \] Isso indica que a função não está definida em \( x = 2 \) (temos uma indeterminação). 2. Para resolver essa indeterminação, podemos fatorar o numerador \( 2x^2 + 3x - 1 \) e ver se \( x - 2 \) é um fator. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes do numerador: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4} \] As raízes não são 2, então não podemos fatorar o numerador por \( x - 2 \). 3. Para encontrar o limite, podemos calcular o limite lateral: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 2} \] Podemos usar a regra de L'Hôpital, que diz que se temos uma indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \), podemos derivar o numerador e o denominador: - Derivada do numerador: \( 4x + 3 \) - Derivada do denominador: \( 1 \) 4. Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x + 3}{1} = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11 \] Parece que houve um erro na análise anterior. Vamos verificar as opções novamente. O limite não está entre as opções dadas. Porém, se considerarmos a simplificação correta e a análise, o limite correto é 11, mas como não está nas opções, parece que a questão pode ter um erro nas alternativas. Se você precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!