Qual é a derivada da função f(x) = sin(x) cos(x) em relação a x? a) sin(2x) b) cos(2x) c) cos^2(x) - sin^2(x) d) cos(x) - sin(x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sin(x) \cos(x) \), podemos usar a regra do produto. A regra do produto afirma que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto \( u(x)v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = \sin(x) \) e \( u'(x) = \cos(x) \) - \( v(x) = \cos(x) \) e \( v'(x) = -\sin(x) \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = \cos(x) \cos(x) + \sin(x)(-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \sin(2x) \) - Não é a derivada correta. b) \( \cos(2x) \) - Não é a derivada correta. c) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \) - Esta é a derivada correta. d) \( \cos(x) - \sin(x) \) - Não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: c) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \).