Questão: Qual é o resultado da integral definida da função f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1, de -1 a 2? a) 4 b) 9 c) 13 d) 17

Para resolver a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 \) de -1 a 2, precisamos primeiro encontrar a primitiva da função. A primitiva \( F(x) \) é dada por: \[ F(x) = \frac{2}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(-1) \): 1. Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + \frac{5}{3}(2^3) - \frac{3}{2}(2^2) + 2 \] \[ = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(8) - \frac{3}{2}(4) + 2 \] \[ = 8 + \frac{40}{3} - 6 + 2 \] \[ = 4 + \frac{40}{3} = \frac{12}{3} + \frac{40}{3} = \frac{52}{3} \] 2. Calculando \( F(-1) \): \[ F(-1) = \frac{1}{2}(-1^4) + \frac{5}{3}(-1^3) - \frac{3}{2}(-1^2) + (-1) \] \[ = \frac{1}{2}(1) - \frac{5}{3} - \frac{3}{2} - 1 \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{5}{3} - \frac{3}{2} - 1 \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{5}{3} \] \[ = -1 - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} \] Agora, calculamos a integral definida: \[ \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) = \frac{52}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{52}{3} + \frac{8}{3} = \frac{60}{3} = 20 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto da integral definida, que é 20. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas.