Questão: Qual é o valor da integral definida da função f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 no intervalo [1, 3]? a) 49 b) 53 c) 57 d) 61

Para calcular o valor da integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) da função \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo \([1, 3]\): \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] 3. Calcular \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(3^4) + \frac{5}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) + 3 \] \[ = \frac{1}{2}(81) + \frac{5}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) + 3 \] \[ = 40.5 + 45 + 13.5 + 3 = 102 \] 4. Calcular \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1^4) + \frac{5}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2) + 1 \] \[ = \frac{1}{2}(1) + \frac{5}{3}(1) + \frac{3}{2}(1) + 1 \] \[ = 0.5 + \frac{5}{3} + 1.5 + 1 = 0.5 + 1.67 + 1.5 + 1 = 4.67 \] 5. Subtrair os resultados: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 102 - 4.67 = 97.33 \] Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar: 1. Cálculo de \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(81) + \frac{5}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) + 3 \] \[ = 40.5 + 45 + 13.5 + 3 = 102 \] 2. Cálculo de \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1) + \frac{5}{3}(1) + \frac{3}{2}(1) + 1 \] \[ = 0.5 + 1.67 + 1.5 + 1 = 4.67 \] 3. Resultado final: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 102 - 4.67 = 97.33 \] Parece que não temos uma opção correta entre as alternativas dadas. Você pode verificar os cálculos ou as opções novamente?