Considere a função f(x)=1/x +√x⁵ . Determine a integral definida de f(x) para variando entre 1 e e.

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x^5} \) no intervalo de 1 a \( e \), vamos primeiro simplificar a função: 1. A função pode ser reescrita como: \[ f(x) = \frac{1}{x} + x^{5/2} \] 2. Agora, vamos calcular a integral definida: \[ \int_{1}^{e} f(x) \, dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} + x^{5/2} \right) \, dx \] 3. A integral pode ser separada: \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx + \int_{1}^{e} x^{5/2} \, dx \] 4. Calculando a primeira integral: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \quad \Rightarrow \quad \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \] 5. Agora, calculando a segunda integral: \[ \int x^{5/2} \, dx = \frac{x^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7} x^{7/2} \quad \Rightarrow \quad \left[ \frac{2}{7} x^{7/2} \right]_{1}^{e} = \frac{2}{7} (e^{7/2} - 1^{7/2}) = \frac{2}{7} (e^{7/2} - 1) \] 6. Juntando os resultados: \[ \int_{1}^{e} f(x) \, dx = 1 + \frac{2}{7} (e^{7/2} - 1) \] Portanto, a integral definida de \( f(x) \) de 1 a \( e \) é: \[ 1 + \frac{2}{7} (e^{7/2} - 1) \]