Transformações geométricas

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Transformações geométricas
Vectores
Adição dum ponto com um vector
Adição de dois vectores
Multiplicação dum número real por um vector
Isometrias
Translação associada a um vector
Rotação no plano
Simetria central
Simetria axial
Classificação das isometrias no plano
Homotetias
Consequências da definição
Propriedades das homotetias de razão r ( 0
Classificação das homotetias
Semelhanças
Classificação das semelhanças
Figuras semelhantes
Polígonos semelhantes
Semelhança de triângulos
Teorema de Thales
Consequências da semelhança aplicada aos triângulos rectângulos
�
1. Vectores
 
Definição
Dois segmentos dizem-se equipolentes se têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Consideremos um segmento orientado [A,B] e o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a ele.
Este conjunto de segmentos com a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento, define um vector (ou vector livre) de que cada um dos segmentos orientados é um representante.
Notação
Este vector representa-se por 
 ou ainda por uma letra minúscula tendo por cima uma seta: 
.
Definição
Vector nulo, 
, é um vector de comprimento igual a zero.
Observação: A direcção e o sentido do vector nulo são indeterminados.
1.1 Adição dum ponto com um vector
Definição
Dados, no plano um vector 
, chama-se soma de A com 
 ao ponto B tal que
 
e escreve-se 
.
�
1.2 Adição de vectores
Definição
Soma dos vectores 
 é o vector 
, que se obtém da seguinte forma:
	- a um ponto O, qualquer, soma-se 
 e obtém-se um ponto M;
	- ao ponto M soma-se 
 e obtém-se N. 
 Então	 
	
Exemplos
1) 
 
Como, num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois, tem-se:
		
2)
	
 Quando, como neste caso, os vectores têm a mesma direcção e sentido, tem-se:
			
3) 	
		
 Neste caso tem-se 	
	
4)
(Neste caso, os vectores são simétricos)
Também se tem: 
.
Definição
Dois vectores dizem-se simétricos se têm a mesma direcção, sentidos opostos e o mesmo comprimento. (A sua soma é o vector nulo.)
 
Conclusão
Podemos concluir dos exemplos anteriores que, quaisquer que sejam os vectores u e v, tem-se sempre:		
.
Propriedades da adição de vectores
Para quaisquer vectores do plano 
, tem-se:
i) Propriedade Comutativa		
ii) Propriedade Associativa
iii) Existência de elemento neutro		
a + 
 = 
 + a = a	 	
 é o elemento neutro da adição de vectores.
iv) Existência de oposto		
	O oposto de 
 é o seu simétrico 
.
1.3 Multiplicação dum número real por um vector
Definição
Produto dum número real k por um vector 
 é um vector que se representa por 
 
(ou k . 
 ou k ( 
) e:
( Se k ( 0 e 
 ( 
, tem
- o comprimento igual ao produto do valor absoluto de k pelo comprimento de 
 ( | k | . | 
 |) ;
	- a direcção do vector 
;
	- o sentido de 
 se k > 0, e o sentido contrário se k < 0.
( Se k = 0 ou 
 = 
, então k . 
 = 
 .
 
Exemplos
Consideremos um vector 
, (qualquer) 
 k ( Z
1) 3 
							
2) -2 
 
�
k ( Q
3) 
							
4) 
k ( { Números irracionais }
5) 
							
Propriedades
Quaisquer que sejam os vectores 
 e v e os números reais m e p, tem-se:
i) m ( p 
) = ( m p) 
				
ii) (m + p) 
 = m 
 + p 
iii) m (
 + 
) = m 
 + m 
iv) 1 . 
 = 
�
Definição
Dois vectores, 
 e 
, não nulos, são colineares (têm a mesma direcção) se e só se existir um número real k tal que 
 = k 
.
Ao número k chama-se razão dos vectores u e v e escreve-se: 
.
Nota
O vector nulo é colinear com qualquer outro. 
No entanto, só tem sentido falar na razão entre 
 e 
 se 
.
�
2. Isometrias
 
ISO + METRIA – mesma medida
Definição
Uma isometria é uma transformação geométrica que transforma uma figura noutra geometricamente igual. 
Iremos estudar três tipos diferentes de isometrias no plano: as translacções, as rotações e as simetrias.
2.1 Translação associada a um vector
Definição
Translação definida por um vector u é uma aplicação 
, do conjunto P, dos pontos do plano, nele mesmo, que a cada ponto A faz corresponder a sua soma com 
.
		
: P ( P
 A ( A’ = A + 
 A’ chama-se o transformado ou imagem de A pela translacção 
.
�
Propriedades
A translação associada ao vector nulo é a aplicação identidade. 
		
A imagem de uma recta é:
	a) uma recta estritamente paralela,
 se a direcção do vector associado é diferente da direcção da recta;
	b) a própria recta
	se o vector associado tem a direcção da recta.
A imagem de uma semi-recta é uma semi-recta directamente paralela (isto é, com o mesmo sentido)
�
A imagem de um segmento orientado é um segmento orientado equipolente.
A imagem dum ângulo é um ângulo de lados directamente paralelos (mesma amplitude e mesmo sentido).
A composta de duas translações associadas, respectivamente, aos vectores 
é a translação definida pelo vector 
 
7) A inversa da translacção definida pelo vector 
 é a translação associada a 
:
			
Nota
Toda a translação é uma isometria : transforma uma figura noutra geometricamente igual.
�
2.1.1. Aplicações das translações
Ângulos de lados paralelos
Ângulos de lados directamente paralelos são geometricamente iguais.
directamente
Como 
então 
Observação
Duas semi-rectas dizem-se directamente paralelas se são paralelas e têm o mesmo sentido.
Ângulos de lados inversamente paralelos são geometricamente iguais.
 , já que os ângulos (’ e ( são ângulos de lados directamente paralelos
 , já que ( e (’ são ângulos verticalmente opostos.
Logo 
Ângulos definidos por duas rectas paralelas e uma secante
Ângulos alternos internos: os ângulos (3,5) e (4,6)
Ângulos alternos externos: os ângulos (1,7) e (2,8).
Ângulos externos do mesmo lado da secante: Pares de ângulos (1,8) e (2,7)
Ângulos internos do mesmo lado da secante: Pares de ângulos (3,6) e (4,5) 
Os ângulos alternos (internos ou externos) são geometricamente iguais.
Os ângulos do mesmo lado da secante (internos ou externos) são suplementares.
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Consideremos um triângulo [ABC] e seja ED a paralela a BC conduzida pelo ponto A.
, já que 
 são ângulos alternos internos.
, já que 
 são ângulos alternos internos.
Então
		
, isto é 
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual à de um ângulo raso. 
Ângulo externo de um triângulo
Na figura BE // AC e 
.
Como 
, já que 
 são ângulos correspondentes
e 
, já que 
 são ângulos alternos internos, então
		
.
 Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
�
2.2 Rotações do plano
Definições		Ângulo orientado
Ângulo positivo é o ângulo gerado no sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio, por uma semi-recta rodando em torno da origem.
							
 – lado origem
							
 – lado extremidade
								
	
O ângulo representa-se por 
.
Ângulo negativo é o ângulo gerado no sentido do movimento dos ponteiros do relógio, por uma semi-recta rodando em torno da origem.
							
 – lado origem
							
 – lado extremidade
						
O ângulo representa-se por 
.
 
Definição
Rotação de centro O e amplitude ( é a aplicação que a cada ponto M do plano faz corresponder um ponto M’ tal que:e	
 e escreve-se R (O, () (M) = M’.
Propriedades
1) A rotação de amplitude 0º é a aplicação identidade.
		R (C, 0º) (A) = A.
2) A imagem do centro da rotação é o próprio centro.
3) A imagem de uma recta é outra recta. 
 .
4) A imagem de uma semi-recta é outra semi-recta. 
.
5) A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual. 
			
6) A imagem de um ângulo orientado é outro ângulo orientado equipolente (geometricamente igual e do mesmo sentido).
			
	 e	
7) A composta de duas rotações com o mesmo centro
			R (C, () ( R (C, ()
é uma rotação com o mesmo centro e amplitude igual à soma ( + (:
			R (C, () ( R (C, () = R (C, (+()
8) A rotação inversa da rotação de centro C e amplitude ( é a aplicação R (C, -():
			[R (C, -() ( R (C, ()] (A) = A
 Nota
 Toda a rotação é uma isometria : transforma uma figura noutra geometricamente igual.
2.3 Simetria central
 
 Definição
 Simetria central ou simetria em relação a um ponto M, é a rotação de centro em M e amplitude 180º (SM).
								
Terminologia
M é o centro da simetria e os pontos B e B’ dizem-se simétricos relativamente a M.
Observação
Todo o ponto B se transforma em outro ponto B’ a igual distância de M e pertenceÀ semi-recta oposta a 
.
�
Figuras simétricas em relação a um ponto
Definição
Uma figura diz-se simétrica em relação a um ponto C quando coincide consigo própria na simetria que tem por centro C. C é o centro da simetria dessa figura.
Exemplos
Figuras simétricas em relação a C
 
						
					Não é uma figura simétrica em relação a C
Propriedades
As simetrias centrais têm todas as propriedades das rotações (são rotações) e consequentemente são isometrias.
�
2.4 Simetria axial
	Definições
		Simetria em relação a uma recta r, Sr, é a aplicação do plano nele mesmo em que:
			i)a imagem de um ponto A não pertencente a r é um ponto A’ tal que r é 
		perpendicular ao meio de [AA’];
			ii) a imagem de um ponto de r é o próprio ponto.
		Os pontos A e A’ dizem-se simétricos relativamente a r: 
			Sr (A) = A’ e Sr (A’) = A.
		
		A simetria em relação a uma recta r também se chama simetria axial de eixo r.
						
Propriedades
1) Numa simetria axial de eixo r, Sr, os pontos de r são invariantes.
			
						 Se P ( r então Sr (P) = P.
�
2) A imagem duma recta é uma recta: 
									Sr (m) = m’.
Nota 
Basta determinar os simétricos de dois quaisquer pontos P e Q da recta: Sr (P) = P’, Sr (Q) = Q’
3) A imagem duma semi-recta é uma semi-recta: 
										
.
Nota 
Basta determinar os pontos simétricos de dois pontos da semi-recta: a sua origem A e um outro qualquer ponto B: Sr (A) = A’ e Sr (B) = B’.
�
4) A imagem dum segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual.
		
							
							
Nota
Basta determinar os pontos simétricos dos extremos A e B do segmento de recta: Sr (A) = A’ e Sr (B) = B’
5) A imagem dum ângulo orientado é outro ângulo orientado geometricamente igual e de sentido contrário:
								
Nota
Aqui temos de determinar os simétricos de três pontos do ângulo: o vértice B e dois quaisquer pontos A e C situados em lados distintos do ângulo: Sr (B) = B’, Sr (A) = A’ e Sr (C) = C’.
 
�
Nota
A simetria axial é uma isometria, transforma uma figura noutra geometricamente igual mas inverte o sentido dos ângulos orientados.
Figuras simétricas em relação a uma recta
		Definição
		Uma figura diz-se simétrica em relação a uma recta r se coincide com a sua imagem na simetria de eixo r (eixo de simetria da figura).
		Exemplos
                    
 
�
�
2.5 Classificação das isometrias do plano
 
							Translações
				Positivas ou		Rotações
				Deslocamentos		Composições de rotações e translações
 							Simetrias axiais
			
	Isometrias
				 Negativas		Composições duma simetria axial
								com deslocamentos
�
3. Homotetias
Definição
Dados um ponto O e um número real r, chama-se homotetia de centro O e razão r, e escreve-se H (O,r), à aplicação do plano em si mesmo, que faz corresponder a cada ponto M um ponto M’ tal que:
			
	
	( Se r > 0, a homotetia diz-se positiva.
	( Se r < 0, a homotetia diz-se negativa.
 ( Se r = 0, a imagem de qualquer ponto é o centro da homotetia. 
Exemplos
1)
2)
3)
3.1 Consequências da definição
1) A imagem do centro da homotetia é o próprio centro.
2) Numa homotetia de centro A que transforma P em P’, os pontos A, P e P’ são pontos colineares.
3) Dados um ponto M, o seu transformado M’ e o centro da homotetia A, é possível determinar a razão da homotetia.
4) Dados um ponto e o seu transformado numa homotetia de razão dada, é possível determinar o centro da homotetia.
5) Uma homotetia de razão igual a 1 é a aplicação identidade.
6) Uma homotetia de razão igual a -1 é a simetria de centro A.
�
Figuras homotéticas
Definição
Duas figuras são homotéticas se existe uma homotetia que aplica uma na outra.
Exemplos
1) H (O,2)
 
Note que as figuras têm a mesma forma e diferem apenas no tamanho e na posição.
2) Dado o ( [ABC] e o segmento [DE] // [BC], construir o triângulo homotético ao dado. 
		Resolução�
3.2 Propriedades das homotetias de razão r ( 0
1) A aplicação inversa da homotetia H(O, r) é a homotetia 
.
2) Imagem dum segmento orientado
 Numa homotetia, o transformado de um segmento orientado é um segmento orientado paralelo e do mesmo sentido se a razão for positiva e de sentido contrário se a razão for negativa.
 A razão entre o comprimento da imagem e o comprimento do segmento é igual ao valor absoluto da razão da homotetia.
3) Imagem duma recta
	( Se o centro da homotetia não pertence à recta, a imagem é uma recta estritamente paralela.
	( Se o centro pertence à recta, a imagem é a própria recta.
4) Imagem dum ângulo orientado
 Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado equipolente.
Aplicação à resolução de problemas
Conhecido o centro duma homotetia O, um ponto A e o seu homotético A’, determinar a imagem de qualquer outro ponto 
.
Dados dois segmentos [AB] e [CD] com a mesma direcção (mas não pertencentes à mesma recta), definir uma homotetia que aplique um no outro.
�
3.3. Classificação das homotetias
Quanto ao sinal da razão:
Positivas se r > 0		Negativas se r < 0
Quanto ao valor absoluto da razão:
Ampliações se | r | > 1		Isometrias se | r | = 1		Reduções se | r | < 1
Exemplos
1) 
								
								H (O,2)
								Positiva; ampliação																				
								H (O, ½ )
								Positiva; redução 
2)
								
										H (O,-1)
										Negativa									 (homotetia inversa)
3) 
	
 	Negativa; redução							H (O, -3)	Negativa; ampliação	
	 
3.4. Consequências métricas das homotetias
Um feixe de rectas concorrentes determina em duas transversais segmentos correspondentes directamente proporcionais.
 
 �
4. Semelhanças
Definições
Chama-se semelhança a uma aplicação do plano em si mesmo, que transforma ângulos em ângulos geometricamente iguais e segmentos de recta em segmentos de recta de comprimentos directamente proporcionais.
Razão de semelhança é o quociente entre o comprimento de um segmento de recta transformado e o comprimento do correspondente segmento original. (Evidentemente seráum número positivo)
Aplicação inversa de uma semelhança
A aplicação inversa de uma semelhança, S, de razão r é ainda uma transformação de semelhança, cuja razão é o inverso aritmético da de S, 
.
Composição de semelhanças
A composta de duas transformações de semelhança é ainda uma transformação de semelhança, cuja razão é valor absoluto do produto das razões das componentes.
Tipos de semelhanças
 São semelhanças:
( As isometrias (translacções, rotações e simetrias)	 Razão de semelhança: 1
( As homotetias	 Razão de semelhança: razão da homotetia
( As aplicações compostas de duas ou mais homotetias:
	 Razão de semelhança: valor absoluto do produto das razões das homotetias
( As aplicações compostas de uma homotetia com uma isometria:
	 Razão de semelhança: valor absoluto da razão da homotetia
4.1. Classificação de semelhanças
Quanto ao valor da razão:
Ampliações se r > 1
Isometrias se r = 1
Reduções se r < 1
Quanto à conservação ou não do sentido dos ângulos orientados:
Positivas se conservam o sentido
Negativas se invertem o sentido
4.2. Figuras semelhantes
Definição
Duas figuras A e B são semelhantes se existir, pelo menos, uma semelhança que transforme uma na outra
Nota
Duas figuras semelhantes têm, afinal, a mesma forma, podendo diferir na posição e no tamanho.
�
4.2.1 Polígonos semelhantes
Definição
Dois polígonos P e P’ são semelhantes se têm de um para o outro:
	( os ângulos iguais;
	( lados correspondentes directamente proporcionais.
Notação Escreve-se P ~ P’.
Observações
( Os pares de lados proporcionais de polígonos semelhantes dizem-se homólogos.
( A razão dos perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança:	
.
( A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança:	
.
( Como consequência da definição de semelhança de polígonos, pode afirmar-se que dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes.
�
4.3. Semelhança de triângulos
Para concluir que dois triângulos são semelhantes, é suficiente que se verifique uma das três condições seguintes (casos de semelhança de triângulos).
Casos de semelhança de triângulos
 1) (AAA) Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais.
 2) (LAL) Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo igual e os comprimentos dos lados que os formam directamente proporcionais.
 3) (LLL) Dois triângulos são semelhantes se têm os comprimentos dos três lados proporcionais.
�
4.4. Teorema de Thales
Consideremos várias rectas paralelas a, b, c e d, intersectadas pelas duas secantes r e s.
Os segmentos [AB] e [MN], contidos nas rectas secantes e compreendidos entre duas paralelas dizem-se correspondentes.
Também são correspondentes os segmentos [AC] e [MP]; [BC] e [NP]; [CD] e [PQ];...
Teorema de Thales
Um feixe de rectas paralelas determina em duas transversais segmentos correspondentes directamente proporcionais.
�
4.5. Consequências da semelhança aplicada aos triângulos rectângulos
Projecção ortogonal sobre uma recta
Projecção ortogonal de um ponto P sobre uma recta r é o ponto P’, pé da perpendicular baixada de P sobre r.
Projecção ortogonal de um segmento de recta sobre uma recta r é o segmento cujos extremos são as projecções ortogonais dos extremos do segmento sobre a recta.
 
�
A semelhança nos triângulos rectângulos
1) Em qualquer triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos rectângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.
	( [ABH] ~ ( [BCH] ~ ( [ABC]
 2) Teorema do cateto
 Num triângulo rectângulo, um cateto é meio proporcional entre a hipotenusa e a sua projecção sobre ela.
3) Teorema da altura
 Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre os segmentos que ela determina.
PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA
PARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS
A
B
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