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Calcule a integral: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \]

A) \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C
B) \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C
C) \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C
D) \tan^{-1}(x) + C
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há 2 anos

Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos fazer uma substituição. Note que \(4\) pode ser escrito como \(2^2\), então podemos reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A integral da forma \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\) é conhecida e resulta em \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). Neste caso, \(a = 2\), então temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. C) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Incorreta. D) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).

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