A equação z⁴ + 1 = 0 tem quantas raízes? a) 2 b) 4 c) 8 d) 10

Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma polar como \( e^{i\pi} \) (ou \( e^{i(\pi + 2k\pi)} \) para \( k \in \mathbb{Z} \)). Para encontrar as raízes quartas de \( -1 \), usamos a fórmula das raízes de um número complexo: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 1 \) (módulo de -1) e \( n = 4 \) (porque estamos buscando raízes quartas). Assim, temos: \[ z_k = \cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) \] Para \( k = 0, 1, 2, 3 \), obtemos 4 raízes distintas. Portanto, a equação \( z^4 + 1 = 0 \) tem 4 raízes. A alternativa correta é: b) 4.