Problema 99: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx\). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\). A antiderivada é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): 1. \(F(1) = \frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{15}{4}\) 2. \(F(0) = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{15}{4} - 0 = \frac{15}{4} \] Como \(\frac{15}{4} = 3.75\), nenhuma das alternativas está correta. Entretanto, se considerarmos a integral de \(f(x)\) e a simplificação, podemos notar que a função \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) é igual a \((x + 1)^3\). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^1 (x + 1)^3 \, dx \] Calculando: \[ = \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx = \left[ \frac{(x + 1)^4}{4} \right]_0^1 = \left[ \frac{(1 + 1)^4}{4} - \frac{(0 + 1)^4}{4} \right] = \left[ \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right] = \frac{15}{4} \] Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode verificar se há um erro nas alternativas ou se a integral foi formulada corretamente.