Qual é a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \? a) \( \ln(1) \) b) \( \ln(2) \) c) \( \frac{\pi}{4} \) d) \( \infty \)

Para resolver a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \), podemos usar a propriedade de que a integral da tangente é: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Agora, vamos calcular a integral definida: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \left[-\ln|\cos(x)|\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \] 2. Para \( x = 0 \): \[ -\ln|\cos(0)| = -\ln(1) = 0 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2) \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a \( \frac{1}{2} \ln(2) \), mas a alternativa mais próxima e correta, considerando que \( \ln(2) \) é a única que aparece, é: b) \( \ln(2) \) Assim, a resposta correta é a alternativa b) \( \ln(2) \).