Para resolver a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( \frac{du}{2} = x \, dx \). Assim, a integral se transforma em: \[ \int x e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^u \, du \] A integral de \( e^u \) é \( e^u + C \). Portanto, temos: \[ \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) - Correto. b) \( e^{x^2} + C \) - Incorreto. c) \( x^2 e^{x^2} + C \) - Incorreto. d) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).