33. **Problema 33**: Calcule \( \int_0^1 (4x^2 - 4x + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( \frac{1}{3} \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( 1 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (4x^2 - 4x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 4x^2 - 4x + 1 \). 1. A antiderivada de \( 4x^2 \) é \( \frac{4}{3}x^3 \). 2. A antiderivada de \( -4x \) é \( -2x^2 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): - \( F(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + (1) = \frac{4}{3} - 2 + 1 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \) - \( F(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + (0) = 0 \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (4x^2 - 4x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] Portanto, a resposta correta é: b) \( \frac{1}{3} \)