Determine a derivada direcional da função f(x, ) - 2 + 5, na direção do vetor ( 7, - 4) no ponto (x,y) = (1,1)

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = -2x + 5y \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (7, -4) \) no ponto \( (x, y) = (1, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Para \( f(x, y) = -2x + 5y \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = -2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 5 \] Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = (-2, 5) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = (-2, 5) \] 3. Normalize o vetor direção \( \mathbf{v} \): O vetor \( \mathbf{v} = (7, -4) \) tem norma: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \] O vetor unitário na direção de \( \mathbf{v} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{7}{\sqrt{65}}, \frac{-4}{\sqrt{65}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Portanto: \[ D_{\mathbf{u}} f = (-2, 5) \cdot \left( \frac{7}{\sqrt{65}}, \frac{-4}{\sqrt{65}} \right) = -2 \cdot \frac{7}{\sqrt{65}} + 5 \cdot \frac{-4}{\sqrt{65}} \] \[ D_{\mathbf{u}} f = \frac{-14 - 20}{\sqrt{65}} = \frac{-34}{\sqrt{65}} \] Assim, a derivada direcional da função \( f \) na direção do vetor \( (7, -4) \) no ponto \( (1, 1) \) é: \[ D_{\mathbf{u}} f = \frac{-34}{\sqrt{65}} \]