Material 1_Conceito função _

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Adaptação de material do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima – Profa. Maria Inez Miguel – PUC-SP 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
CONCEITO DE FUNÇÃO – Material 1 
 
Nos cursos de Cálculo, tudo o que estudaremos dirá respeito a conjuntos de números reais. Vamos 
trabalhar com funções que são definidas e assumem valores nesse conjunto e, consequentemente, ao 
estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, precisaremos mobilizar fatos 
elementares a respeito dos números reais. Nessa primeira semana do curso voltaremos nossa atenção 
exatamente para alguns desses aspectos importantes referentes aos números reais. 
 
Conjuntos Numéricos 
 
Os primeiros números com os quais a humanidade trabalhou são os chamados naturais ou inteiros 
positivos que constituem o conjunto ℕ = {1,2,3,4, … } 
 
Os números −1, −2, −3, … são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números 
naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros, que denotamos 
por ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 
 
Os números que podem ser representados na forma 𝑚/𝑛, com 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ e 𝑛 ≠ 0 constituem o 
conjunto dos números racionais, que denotamos por: ℚ = {𝑥 ∶ 𝑥 =
𝑚
𝑛
, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≠ 0} 
 
Há, no entanto, números que não podem ser representados na forma 𝑚/𝑛, com 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ e 𝑛 ≠ 0, 
como, por exemplo, √2, 𝜋, 𝑒, etc. Estes números formam o conjunto dos números irracionais que 
denotamos por: 𝕀 
 
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o 
conjunto dos números reais, que denotamos por: ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
 
Vejamos então alguns axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais. 
No conjunto dos números reais são definidas duas operações, denominadas de adição e de 
multiplicação que satisfazem os seguintes axiomas: 
 
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Axioma 1 – Fechamento: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ existe um e somente um número real denotado por 𝑎 + 𝑏, 
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎 𝑒 𝑏, e um e somente um número real denotado por 𝑎 ∙ 𝑏, produto de a e b 
Axioma 2 – Comutativa: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 e 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 
Axioma 3 – Associativa: Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 ∈ ℝ, então: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 e 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 
Axioma 4 – Distributiva: Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 ∈ ℝ, então: 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 
Axioma 5 – Existência de Elemento Neutro: Existem elementos 0 e 1 ∈ ℝ tais que: 𝑎 + 0 = 𝑎 e 𝑎 ∙
1 = 𝑎 para qualquer 𝑎 ∈ ℝ. 0, dito elemento neutro da adição e 1, dito elemento neutro da 
multiplicação 
Axioma 6 - Existência de Simétrico aditivo (oposto): Todos 𝑎 ∈ ℝ tem um simétrico, denotado por 
– 𝑎, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0 
Axioma 7 – Existência de Simétrico multiplicativo (inverso): Todo 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, tem um inverso, 
denotado por 
1
𝑎
, tal que 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1 
 
Por meio dos axiomas 6 e 7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais 
 
Subtração: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então a diferença entre 𝑎 e 𝑏, denotada por 𝑎 − 𝑏, é definida por 𝑎 − 𝑏 =
= 𝑎 + (−𝑏). Assim, a subtração é soma com o oposto 
 
Divisão: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, o quociente de a por b é denotada por 
𝑎
𝑏
 e definida por: 
𝑎
𝑏
= 𝑎 ∙
1
𝑏
. 
Assim, a divisão é multiplicação pelo inverso 
 
Valor Absoluto 
 
Definição: O valor absoluto de 𝑎, denotado por |𝑎|, é definido por: 
|𝑎| = {
𝑎, se 𝑎 ≥ 0
−𝑎, se 𝑎 0 
(ii) |𝑥| > 𝑎 ⇔ 𝑥 > 𝑎 ou 𝑥 0 
(iii) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então |𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏| 
(iv) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, então |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
 
(v) (Desigualdade triangular) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| 
(vi) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então |𝑎 − 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| 
(vii) Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então |𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏| 
 
Intervalos 
 
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Vejamos então os diferentes tipos de intervalos. 
 
Intervalo Aberto: O conjunto {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 𝑎} é denotado por (𝑎, +∞) ou ]𝑎, +∞[. 
(ii) O conjunto {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 𝑎} é denotado por [𝑎, +∞) ou [𝑎, +∞[. 
(iii) O conjunto {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 0 
 
Exercício 2: Resolva as equações em ℝ: 
 
a) |5𝑥 − 3| = 7 
b) |7𝑥 − 1| = |2𝑥 + 5| 
c) |9𝑥 + 7| = −7 
 
 
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Exercício 3: Determine os números reais que satisfazem às seguintes desigualdades: 
a) |7𝑥 − 2|real que associa a cada número o seu quadrado adicionado de 
duas unidades. Quais são os conjuntos domínio e imagem dessa função? 
 
(b) Em dezembro de 2008, em uma cidade norte-americana, as temperaturas atingiram valores 
extremamente baixos. As temperaturas mínimas diárias, sendo a temperatura entendida como uma 
função da data, registradas entre 17 e 26 de dezembro estão na tabela a seguir: 
 
 
 
 
Quais são os conjuntos domínio e imagem dessa função? 
 
(c) Considere a função 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ definida por meio da seguinte expressão algébrica: 
𝑔(𝑎) =
1
√𝑎2 − 1
 
Quais são os conjuntos domínio e imagem dessa função? 
 
(d) Considere as funções cujas representações gráficas são dadas a seguir. Quais são os conjuntos 
domínio e imagem de cada uma delas? 
 
(i) Considere que para valores de 𝑥 menores 
do que os representados, os valores da 
função decrescem ilimitadamente e que para 
valores de 𝑥 maiores, os valores da função 
crescem ilimitadamente. 
𝑫𝒂𝒕𝒂 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Temperaturas 
mínimas (ºF) 
−14 −15 −12 −4 −15 −18 1 −9 −10 −16 
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(ii) 
 
 
(iii) 
 
 
 
 
 
 
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As diferentes maneiras de representar uma função 
 
As funções podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos, expressões algébricas e por 
descrições em palavras. Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 5: A função 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥2−1
 está representada por meio de uma 
expressão algébrica. 
 
Exemplo 6: Sejam 𝑃 o conjunto dos polígonos do plano, ℝ o conjunto dos números reais e 𝑓 a função 
que associa a cada polígono 𝑥 um número real correspondente à medida de sua área. A função 𝑓, 
neste caso, está sendo descrita em palavras (representação por meio do registro da língua natural). 
 
Exemplo 7: Em dezembro de 2008, em uma cidade norte-americana, as temperaturas atingiram 
valores extremamente baixos. As temperaturas mínimas diárias (sendo a temperatura entendida como 
uma função da data), registradas entre 17 e 26 de dezembro, estão explicitadas a seguir: 
 
 
 
Nesse exemplo, a função está sendo representada por meio de uma tabela 
 
Exemplo 8: Sendo a reta 𝑓 mostrada na figura o gráfico de uma função, tal função, neste caso, está 
sendo representada por meio do registro gráfico. 
 
 
 
𝑫𝒂𝒕𝒂 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Temperaturas 
mínimas (ºF) 
−14 −15 −12 −4 −15 −18 1 −9 −10 −16 
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Exemplo 9: O valor aproximado a ser pago pelos habitantes da cidade de São Paulo pelo recebimento 
de água encanada é uma função da quantidade de água consumida. É cobrada uma quantia fixa 
mensal, para um consumo de até dez metros cúbicos, acrescida de uma taxa, para cada metro cúbico 
excedido. Há, neste caso, uma função que está sendo representada por meio do registro da língua 
natural, isto é, uma relação funcional que está sendo descrita em palavras. 
 
É importante perceber, a partir desses exemplos dados, que nem todas as funções admitem todas as 
possíveis maneiras de representação. 
 
Exercício 5: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, represente por meio de um diagrama de flechas a relação que 
associa a cada número do conjunto A o seu sucessor. Tal relação é uma função? Por quê? Se sua 
resposta for afirmativa, represente, se possível, tal função por meio de uma expressão algébrica e 
determine o domínio e a imagem da função. 
 
Exercício 6: Sendo 𝐴 = {3, 4, 5} e 𝐵 = {1,2}, justifique por que a relação que associa, segundo a 
regra 𝑦 = 𝑥 − 3, um elemento 𝑥 do conjunto 𝐴 a um elemento 𝑦 do conjunto B não é uma função de 
A em B 
 
Exercício 7: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e 𝐵 = ℤ (conjunto dos números inteiros) e 𝑓: 𝐴 → 𝐵 a regra 
que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro. Responda: 
a) 𝑓 é uma função de 𝐴 em 𝐵? 
b) Existe uma expressão algébrica por meio da qual 𝑓 pode ser representada? Se sim, qual é ela? 
c) Qual o domínio de 𝑓? 
d) Qual o contradomínio de 𝑓? 
e) Qual a imagem de 𝑓? 
 
Observação: nesse curso, trabalharemos essencialmente com funções reais de variável real, isto é, 
com funções 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ. Assim, toda vez que apresentarmos apenas a representação algébrica de 
uma função e não dissermos nada a respeito do conjunto no qual tal função está definida, estaremos 
considerando que a função em questão é real de variável real e, nesse caso, o domínio de tal função 
será o maior conjunto 𝐴 de números reais para os quais a expressão algébrica dada é bem definida 
 
 
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Exemplo 10: Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2, então 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞) = ℝ + 
 
Exemplo 11: Se 𝑓(𝑥) =
2−𝑥
𝑥+3
, então 𝐷(𝑓) = ℝ \{−3}, pois se 𝑥 = −3 o denominador 𝑥 + 3 é nulo 
e a expressão 
2−𝑥
𝑥+3
 não pode ser definida 
 
Exercício 8: Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
5
 
c) 𝑔(𝑥) = −√𝑥2 − 4 
 
Exercício 9: Determinar o domínio da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 +
1
𝑥−2
 
 
Exercício 10: Se 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−1
, calcular: 
a) 𝑓(0) 
b) 𝑓(1) 
c) 𝑓(𝑥 − 2) 
 
Exercício 11: Se 𝑓(𝑥) =
3𝑥−1
𝑥−7
, determine: 
𝑓(ℎ)−𝑓(0)
ℎ
, sendo ℎ ≠ 0 𝑒 ℎ ≠ 7 
 
Representação gráfica de uma função 
 
Seja 𝑓 uma função. O gráfico de 𝑓 é o conjunto 
de todos os pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)) de um plano 
coordenado (plano cartesiano), sendo 𝑥, 
pertencente ao domínio de 𝑓, a variável 
independente representada no eixo das abscissas 
e 𝑓(𝑥) a respectiva imagem de 𝑥 pela função 𝑓, 
pertencente ao contra domínio de 𝑓, a variável 
dependente representada no eixo das ordenadas 
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Exercício 12: Represente: 
 
a) por meio de uma fórmula e por meio de um gráfico, a função que associa a cada número real 
o seu quadrado adicionado de 1 
b) Por meio de um gráfico a função real de variável real: 𝑓(𝑥) = {
−2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
2 𝑠𝑒 − 2 2
 
 
Exercício 13: Descreva em palavras a função representada pela expressão: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3 
 
Exercício 14: Represente por meio de uma expressão algébrica a função representada por meio da 
seguinte tabela de pontos: 
 
 
Exercício 15: Dê a expressão algébrica das seguintes funções reais de variável real: 
 
a) 𝑓 é a função que associa a um número real a quarta parte de tal número, subtraída do dobro do tal 
número 
 
b) 𝑔 é a função que associa a um número real o valor absoluto do quíntuplo de seu cubo 
 
c) 
 
 
 
Notação funcional e intersecção com os eixos 
 
Conforme já salientamos, escrevemos 𝑦 = 𝑓(𝑥) quando queremos dizer que 𝑦 é uma função de 𝑥. A 
variável independente é 𝑥, a variável dependente é 𝑦 e 𝑓 é o nome da função. Dizemos que o gráfico 
de uma função tem uma intersecção com um eixo nos pontos onde ele encontra o eixo horizontal 
(eixo das abscissas) ou o eixo vertical (eixo das ordenadas) do plano cartesiano. As intersecções com 
o eixo horizontal (das abscissas) são chamadas de zeros da função 
 
𝒙 −5 −3 0 7 
𝒉(𝒙) 24 8 −1 48 
𝒙 −1 −2 0 1 2 
𝒉(𝒙) 1 2 0 −1 −2 
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Exemplo 12: observe a curva que é o gráfico de uma função 𝑓 e os seus zeros 
 
 
Exercício 16: A figura a seguir mostra o gráfico da função 𝑓, que relaciona a variável independente 
𝑝 à variável dependente 𝑟; em linguagem natural dizemos que o valor de 𝑟 é uma função do valor de 
𝑝, ou seja, 𝑟 = 𝑓(𝑝). Dado um valor de 𝑝, podemos determinar o valor de 𝑟, por meio da função 𝑓. 
Observe que a variável independentedeve ser representada no eixo das abscissas, ou eixo dos 𝑥 (eixo 
horizontal) e a variável dependente no eixo das ordenadas, ou eixo dos 𝑦 (eixo vertical) 
a) Qual é o valor de 𝑟, quando 𝑝 = 0? 
b) E para qual valor de 𝑝, 𝑟 = 7? 
c) Qual o valor de 𝑓(2)? 
 
 
 
Exercício 17: Considere 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2: 
a) Encontre o valor de 𝑦 quando 𝑥 é igual a zero 
b) Qual é o valor de 𝑓(3)? 
c) Quais valores de 𝑥 fazem com que 𝑦 seja igual a 11? 
d) Existe algum valor de 𝑥 que faça com que 𝑦 seja igual a 1? 
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Exercício 18: A figura a seguir mostra a quantidade de nicotina, 𝑁 = 𝑓(𝑡), em miligramas, no fluxo 
sanguíneo de uma pessoa em função do tempo 𝑡, em 
horas, desde o instante em que essa pessoa terminou de 
fumar um cigarro. 
a) Estime 𝑓(3) e interprete esse valor em termos da 
quantidade de nicotina no fluxo sanguíneo; 
b) Depois de aproximadamente quantas horas o nível 
de nicotina está abaixo de 0,1 mg? 
c) Em que valor ocorre a intersecção do gráfico com o eixo vertical? O que esse valor representa em 
termos da quantidade de nicotina no fluxo sanguíneo? 
d) Se o gráfico dessa função tivesse intersecção com o eixo horizontal, o que essa intersecção 
representaria? 
 
Identificando se uma curva é ou não o gráfico de uma função 
 
Será que toda curva no plano é o gráfico de uma função? Vamos analisar essa questão 
 
Exercício 19: (i) Analise as curvas a seguir e identifique quais delas podem representar gráfico de 
função, lembrando que para ser função, cada elemento do domínio só pode ter uma única imagem: 
 
(a) (b) (c) 
 
 
(d) (e) 
 
 
 
 
 
 
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É possível verificar, geometricamente, se determinada curva dada pode ou não representar o gráfico 
de uma função, bastando para tal desenhar retas verticais. Caso uma mesma reta intercepte a curva 
em dois ou mais pontos, não se trata de função. 
 
(a) (b) (c) 
 
 
(d) (e) 
 
 
 
 
 
 
As noções de função crescente e função decrescente 
 
Uma função 𝑓 é crescente em determinado intervalo se os valores de 𝑓(𝑥) aumentam quando 𝑥 
aumenta (no intervalo considerado) 
 
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Uma função 𝑓 é decrescente em determinado intervalo se os valores de 𝑓(𝑥) diminuem quando 𝑥 
aumenta (no intervalo considerado) 
 
 
 
Exemplo 13: Observe a curva abaixo que é o gráfico da função 𝑓 que é decrescente nos intervalos 
(−∞, −2) e (3, 5) e é crescente nos intervalos (−2, 3) e (5, +∞) 
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Exercício 20. Analise as funções e determine os intervalos em que é crescente/decrescente 
(a) 𝑓: ℝ → ℝ definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
(b) 𝑔: ℝ → ℝ definida por: 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3 
(c) ℎ: ℝ → ℝ definida por: ℎ(𝑥) = 𝑥2 
 
Funções pares e funções ímpares 
 
Uma função 𝑓 é dita uma função par se, para todo 𝑥 pertencente ao domínio de 𝑓, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Exemplo 14: As funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = |𝑥| são funções pares. De fato: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) e 𝑔(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑔(𝑥) 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo dos 𝑦) 
 
 
Uma função 𝑓 é dita ímpar se, para todo 𝑥 pertencente ao domínio de 
𝑓, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem 
 
Exemplo 15: A função ℎ(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥3 é ímpar: 
ℎ(−𝑥) = (−𝑥)5 + (−𝑥)3 = −𝑥5 − 𝑥3 = −ℎ(𝑥) 
 
 
 
 
 
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Observação: há funções 𝑓 que não são nem pares e nem ímpares, pois não obedecem a relações do 
tipo 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ou 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Por exemplo: a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 não é nem par e 
nem ímpar. De fato, 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 + 4(−𝑥)2 = −𝑥3 + 4𝑥2 e −𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 4𝑥2. Assim, 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) e 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥), que implica que 𝑓(𝑥) não é par, nem ímpar 
 
Exemplo 16: Observe os gráficos das seguintes funções pares: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) ℎ(𝑥) = cos (𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: Observe os gráficos das seguintes funções ímpares: 
 
a) 𝑚(𝑥) = 𝑥3 b) 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 21. Verifique se as funções são pares, 
ímpares ou nenhuma das duas opções. 
(a) 𝑓: ℝ → ℝ definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
(b) ℎ: ℝ → ℝ definida por: ℎ(𝑥) = 𝑥2 
(c) função definida na representação gráfica 
 
 
 
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Funções periódicas 
 
A função 𝑓 é dita periódica se existe um número real 𝑇 tal que 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 
pertencente ao domínio de 𝑓. O número 𝑇 é chamado período da função 𝑓. O gráfico de uma função 
periódica se repete a cada intervalo de comprimento |𝑇| 
 
Exemplo 16: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Essa função é periódica e seu período é 𝑇 = 2𝜋 
 
 
 
Note que 𝑓(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Essas funções são particularmente importantes para o estudo de ondas elétricas e associadas a elas 
temos as concepções de frequência e amplitude de onda, por exemplo 
 
 
Funções inversas 
 
Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é uma função tal que para cada 𝑦 ∈ 𝐵 existe exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 =
𝑓(𝑥) (esse tipo de função é chamada bijetora), então podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 
𝑥 = 𝑔(𝑦). A função 𝑔 definida dessa forma é chamada função inversa de 𝑓 e é denotada por 𝑓−1 
 
Podemos verificar se uma função possui inversa em todo o seu domínio, de maneira bastante simples, 
apenas analisando o gráfico de tal função. Se, ao traçarmos uma reta paralela ao eixo dos 𝒙 essa 
interceptar o gráfico de 𝑓 em apenas um ponto, então a função 𝑓 admite inversa em todo o seu 
domínio. Caso contrário, 𝑓−1 não existe em todo o domínio de 𝑓 
 
Exemplo 17: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 não possui inversa em todo o seu domínio 
 
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Exemplo 18: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 admite inversa em todo o seu domínio 
 
 
 
 
Exemplo 19: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 admite inversa em todo o seu domínio 
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Exemplo 20: A função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) não admite inversa em todo o seu domínio 
 
Há funções que não possuem inversa em todo o seu domínio, mas se restringirmos o domínio das 
mesmas, as inversas passam a existir 
 
Exemplo 21: Se restringirmos o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 apenas ao conjunto dos números 
reais positivos (ou apenas ao conjunto dos reais negativos), 𝑓 passa a admitir inversa em todo o seu 
domínio 
 
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ou 
 
 
 
 
 
 
Obtenção da expressão algébrica da inversa de uma função da qual se conhece a expressão 
algébrica 
 
Se conhecermos a expressão algébrica da função 𝑓 e queremos obter a expressão algébrica de 𝑓−1, 
devemos seguir os seguintes passos: 
 
1º passo: substituir 𝑓(𝑥) por 𝑦 
2º passo: isolar 𝑥 na expressão obtida após executarmos o 1º passo 
3º passo: trocar 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 na expressãoobtida após executarmos o 2º passo 
4º passo: trocar 𝑦 por 𝑓−1(𝑥) na expressão obtida após executarmos o 3º passo 
 
Exemplo 22: 
Sabendo que a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 admite inversa em todo o seu domínio, obter a expressão 
algébrica de 𝑓−1 
Vamos então considerar 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 e executar os quatro passos explicitados anteriormente: 
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1º passo: 𝑦 = 2𝑥 − 5; 
2º passo: 
𝑦 + 5 = 2𝑥 ⇔ 𝑥 =
𝑦 + 5
2
 
 
 
3º passo: 
𝑦 =
𝑥 + 5
2
 
4º passo: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
2
 
E, portanto, a expressão algébrica de 𝑓−1, que é a função inversa de 𝑓, é: 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+5
2
 
 
Observação: o domínio da função inversa 𝑓−1 é igual ao contradomínio da função 𝑓 
O gráfico da função inversa 
 
Se 𝑓 é uma função que admite inversa, então o gráfico de 𝑓−1 é simétrico ao gráfico de 𝑓 em relação 
à reta 𝑦 = 𝑥 
 
Exemplo 23: Considerando 𝑓(𝑥) = 𝑥2 definida apenas no conjunto dos números reais positivos, a 
função inversa de 𝑓 será 𝑓−1(𝑥) = √𝑥. Vejamos a representação gráfica de 𝑓 e de 𝑓−1 em um mesmo 
sistema de eixos cartesianos no qual está representada também a reta 𝑦 = 𝑥 
 
Observe a simetria, em relação à reta 𝑦 = 𝑥, entre o gráfico de 𝑓 e o gráfico de 𝑓−1 
 
 
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Exemplo 24: Considerando 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5, já sabemos que a função inversa de 𝑓 será 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+5
2
. 
Vejamos, como no exemplo 10 a representação gráfica de 𝑓 e de 𝑓−1 em um mesmo sistema de eixos 
cartesianos no qual está representada também a reta 𝑦 = 𝑥. Observe, mais uma vez, a simetria, em 
relação à reta 𝑦 = 𝑥, entre o gráfico de 𝑓 e o gráfico de 𝑓−1 
 
 
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Adaptação de material do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima – Profa. Maria Inez Miguel – PUC-SP 
Exercício 22 
Das funções cujos gráficos são apresentados a seguir, quais possuem inversa em todo o domínio? 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
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Adaptação de material do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima – Profa. Maria Inez Miguel – PUC-SP 
Exercício 23 
Mostre que a inversa da função 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
2𝑥−1
 coincide com a função original, isto é, 𝑓−1(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Exercício 24 
Sabendo que a função 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
𝑥+2
 possui inversa em todo o seu domínio, determine a expressão 
algébrica da função 𝑓−1 
 
Exercício 25 
A seguir é dado o gráfico da função 𝑔−1, que é a inversa da função 𝑔. Construa o gráfico da função 
𝑔, explicando seu procedimento 
 
 
Exercício 26 
Na figura abaixo é dado o gráfico de uma função 𝑓. Construa, nessa mesma figura, o gráfico da função 
inversa 𝑓−1, justificando o procedimento adotado