Vamos analisar cada uma das proposições para determinar qual delas é verdadeira. (A) \(\sum_{i=0}^{4} (i+2) = 18\) Calculando a soma: - Para \(i=0\): \(0+2=2\) - Para \(i=1\): \(1+2=3\) - Para \(i=2\): \(2+2=4\) - Para \(i=3\): \(3+2=5\) - Para \(i=4\): \(4+2=6\) Somando: \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20\), portanto, essa proposição é falsa. (B) \(3^2 + 3^4 + 3^6 + 3^8 = \sum_{i=2}^{8} 3^i\) Calculando o lado esquerdo: - \(3^2 = 9\) - \(3^4 = 81\) - \(3^6 = 729\) - \(3^8 = 6561\) Somando: \(9 + 81 + 729 + 6561 = 7380\). Agora, calculando o lado direito: \(\sum_{i=2}^{8} 3^i = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8\) - \(3^3 = 27\) - \(3^5 = 243\) - \(3^7 = 2187\) Somando: \(9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 = 7380\). Portanto, essa proposição é verdadeira. (C) \(\sum_{i=1}^{12} i^4 = \sum_{i=1}^{3} i^4 + \sum_{i=4}^{12} i^4\) Essa proposição é verdadeira, pois a soma dos termos de \(i^4\) de 1 a 12 é igual à soma dos termos de 1 a 3 mais a soma dos termos de 4 a 12. (D) Se \(\sum_{k=1}^{6} 3^k = 63\), então \(\sum_{k=1}^{6} 1 \cdot 3^k = 21\) A soma \(\sum_{k=1}^{6} 3^k\) é igual a \(3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729\), que não é 63, portanto, essa proposição é falsa. Após a análise, a proposição verdadeira é a (B).