Para determinar o volume do sólido que está dentro do cilindro \(x^2 + y^2 \leq 1\) e da esfera \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 4\), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Definindo as coordenadas cilíndricas: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - \(z = z\) - O cilindro tem \(r \leq 1\) e a esfera tem \(r^2 + z^2 \leq 4\). 2. Limites de integração: - Para \(r\), os limites são de \(0\) a \(1\). - Para \(\theta\), os limites são de \(0\) a \(2\pi\). - Para \(z\), os limites são de \(-\sqrt{4 - r^2}\) a \(\sqrt{4 - r^2}\). 3. Volume em coordenadas cilíndricas: O volume \(V\) é dado pela integral tripla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \] 4. Calculando a integral: - A integral em \(z\) resulta em \(2\sqrt{4 - r^2}\). - Assim, temos: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2r\sqrt{4 - r^2} \, dr \, d\theta \] - A integral em \(\theta\) é simplesmente \(2\pi\). 5. Integral em \(r\): Para calcular \(\int_0^1 2r\sqrt{4 - r^2} \, dr\), podemos usar a substituição \(u = 4 - r^2\), que leva a \(du = -2r \, dr\). Após resolver, você encontrará que o volume \(V\) é: \[ V = \frac{8\pi}{3} \] Portanto, o volume do sólido que está dentro do cilindro e da esfera é \(\frac{8\pi}{3}\).