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Calcule o limite lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}. A) 0 B) 1 C) -0.5 D) Não existe

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Questões Para a Compreensão

há 2 anos

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ESTÁCIO

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há 2 anos

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\), podemos usar a série de Taylor para \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \cos(x) - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2} + O(x^2) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(O(x^2)\) se aproxima de 0, então: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: C) -0.5.

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