Determine o valor do limite lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}. A) 0 B) 1 C) 0.5 D) Não existe

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \), podemos usar a série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ x - \sin(x) = x - \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) = \frac{x^3}{6} - O(x^5) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} - O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{6} - O(x^2) \] Quando \( x \to 0 \), o termo \( O(x^2) \) tende a 0, então: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6} \] Como essa opção não está entre as alternativas, parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. No entanto, se considerarmos a análise correta, a resposta correta não está listada. Se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a mais próxima seria "D) Não existe", já que o limite não corresponde a nenhuma das opções apresentadas.