Calcule \( \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx \). A) \( 2 \) B) \( 4 \) C) \( 6 \) D) \( 3! \)

Questões Para a Compreensão

há 2 anos

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3 pág.

Respostas

há 2 anos

Para calcular a integral \( \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx \), podemos usar a fórmula da integral gama, que é dada por: \[ \Gamma(n) = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} \, dx \] Para \( n = 3 \), temos: \[ \Gamma(3) = \int_0^{\infty} x^{3-1} e^{-x} \, dx = \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx \] Sabemos que \( \Gamma(n) = (n-1)! \). Portanto: \[ \Gamma(3) = 2! = 2 \] Assim, a integral \( \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx = 2! = 2 \). Portanto, a alternativa correta é: A) \( 2 \)

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ESTÁCIO

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Qual é o ecossistema principal da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)?

A) \( 0 \)
B) Converge
C) Diverge
D) Depende de n

Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) -1

Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{3\pi}{8} \)

Determine a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \).

A) \( e^{3x} \cdot \sin(2e^{3x}) \)
B) \( \frac{e^{3x}}{3} \sin(2e^{3x}) \)
C) \( \frac{2}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \)
D) Não possui uma solução em funções elementares

Cálculo

Calcule \( \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx \). A) \( 2 \) B) \( 4 \) C) \( 6 \) D) \( 3! \)

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D) Depende de n

Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) -1

Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{3\pi}{8} \)

Determine a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \).

A) \( e^{3x} \cdot \sin(2e^{3x}) \)
B) \( \frac{e^{3x}}{3} \sin(2e^{3x}) \)
C) \( \frac{2}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \)
D) Não possui uma solução em funções elementares

Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 2x^2 - 4}{3x^4 + 5} \).

A) 0
B) 2
C) 2
D) \(\infty\)

Calcule a integral \( \int_0^1 x^{x^2} \, dx \).

A) \( \frac{1}{2} \)
B) \( e^{-1/2} \)
C) \( \ln(1) \)
D) Valor não elementar

Calcule o valor da derivada de \( \ln(x^2 + 1) \).

A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)
C) \( \frac{1}{2x} \)
D) \( \frac{1}{x} \)

Calcule \( \int_1^2 x^3 \, dx \).

A) \( \frac{15}{4} \)
B) \( \frac{12}{5} \)
C) \( 4 \)
D) \( 3 \)

Problema 63: Calcule a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \).

A) \( 1 \)
B) \( \frac{\pi^2}{6} \)
C) \( \infty \)
D) \( 0 \)

Problema: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\.

A) 0
B) 1
C) 2
D) Não existe

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Problema: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\.A) 0B) 1C) 2D) Não existe

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A) \( \frac{\pi}{4} \)
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Calcule a integral \( \int_0^1 x^{x^2} \, dx \).

A) \( \frac{1}{2} \)
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D) Valor não elementar

Calcule o valor da derivada de \( \ln(x^2 + 1) \).

A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
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A) \( \frac{15}{4} \)
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A) \( 1 \)
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Problema: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\.

A) 0
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