Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite da tangente. 1. Usando a propriedade do limite: Sabemos que \(\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1\). Aqui, podemos fazer a substituição \(u = 3x\). Assim, quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. 2. Reescrevendo o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3 \] 3. Agora, aplicamos a propriedade do limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} = 1 \] 4. Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 1 \cdot 3 = 3 \] Assim, o resultado final é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \]