Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x} \). a) 0 b) 1 c) 4 d) Não existe

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma inicial é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \( \ln(1 + 4x) \) é \( \frac{4}{1 + 4x} \). - A derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{1 + 4x} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \frac{4}{1 + 4(0)} = \frac{4}{1} = 4 \] Portanto, o limite é \( 4 \). A alternativa correta é: c) 4.