Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). a) 0 b) 1 c) \( \frac{1}{4} \) d) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \( -2x^2 \): \[ \int -2x^2 \, dx = -\frac{2x^3}{3} \] 3. Integral de \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right] \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ = \left[ \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} \right] \] \[ = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \) é \( \frac{1}{12} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode querer verificar a questão ou as opções fornecidas.