Problema 33: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). a) 0 b) 1

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \( x \) se aproxima de 0. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador: 1. A derivada de \( \tan(2x) \) é \( 2\sec^2(2x) \). 2. A derivada de \( x \) é 1. Agora aplicamos a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2\sec^2(0) = 2 \cdot 1 = 2. \] No entanto, como a questão apresenta apenas as alternativas a) 0 e b) 1, precisamos reavaliar o limite de outra forma. Podemos usar a aproximação \( \tan(u) \approx u \) quando \( u \) é pequeno. Assim, temos: \[ \tan(2x) \approx 2x \quad \text{quando } x \to 0. \] Portanto: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2. \] Como nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto, parece que houve um erro nas opções apresentadas. O limite correto é 2, que não está entre as opções a) 0 e b) 1. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!