A série de Taylor da função \(f(x) = \cos(x)\) em torno de \(x = 0\) é dada pela soma dos termos da forma \(\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\), onde \(f^{(n)}(0)\) são as derivadas de \(f\) avaliadas em \(0\). Para a função \(\cos(x)\), as derivadas em \(0\) alternam entre \(1\) e \(-1\) para os termos pares, e são \(0\) para os ímpares. Assim, a série de Taylor se torna: \[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \] Analisando as alternativas: a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) - Correta, representa a série de Taylor de \(\cos(x)\). b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) - Esta é a série de Taylor para \(e^x\). c) \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\) - Esta é a série de uma função geométrica, não se relaciona com \(\cos(x)\). d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) - Esta é a série de Taylor para \(\sin(x)\). Portanto, a alternativa correta é a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\).