Determine o valor de \( \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). a) \( 3 \) b) \( 4 \) c) \( 5 \) d) \( 6 \)

Para resolver a integral \( \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \), vamos calcular a primitiva da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). 1. Encontrar a primitiva: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x + C \] 2. Calcular a integral definida: \[ \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = F(2) - F(1) \] 3. Calcular \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{2^4}{4} - 2^3 + 4 \cdot 2 = \frac{16}{4} - 8 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 \] 4. Calcular \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^3 + 4 \cdot 1 = \frac{1}{4} - 1 + 4 = \frac{1}{4} - 1 + 4 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4} \] 5. Substituir na fórmula: \[ \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = F(2) - F(1) = 4 - \frac{13}{4} = \frac{16}{4} - \frac{13}{4} = \frac{3}{4} \] Parece que houve um erro na interpretação dos resultados. Vamos revisar a conta: Na verdade, ao calcular \( F(2) \) e \( F(1) \) corretamente, temos: - \( F(2) = 4 \) - \( F(1) = \frac{13}{4} \) Portanto, a integral é: \[ \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = 4 - \frac{13}{4} = \frac{16}{4} - \frac{13}{4} = \frac{3}{4} \] Parece que não temos uma opção correta entre as alternativas dadas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.