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d) \( \frac{1}{x+1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{1-x} \) 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, temos \( \int \frac{1}{y^2} dy = \int dx 
\), que resulta em \( -\frac{1}{y} = x + C \). Usando a condição inicial, encontramos \( C = 1 
\) e, portanto, \( y = \frac{1}{1-x} \). 
 
11. **Problema 11:** Determine a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( \frac{17}{12} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( 4 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = (1 - \frac{2}{3} + 
3) - (0) = 4 \). 
 
12. **Problema 12:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 - 4x + 1} 
\). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{5}{3} \). 
 
13. **Problema 13:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
14. **Problema 14:** Encontre a integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - 4x + C \) 
 c) \( x^3 - 2x^2 + 4 + C \) 
 d) \( 3x^3 - 4x^2 + x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx = 
x^3 - 2x^2 + x + C \). 
 
15. **Problema 15:** Determine o valor de \( \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta:** a) \( 3 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x \right]_1^2 = \left(4 - 8 + 
8\right) - \left(\frac{1}{4} - 1 + 4\right) = 4 - \frac{1}{4} = 3 \). 
 
16. **Problema 16:** Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y + x \) com 
a condição inicial \( y(0) = 1 \)? 
 a) \( e^{-x} + x + 1 \) 
 b) \( e^x + x \) 
 c) \( e^x - x \) 
 d) \( e^{-x} - x \) 
 **Resposta:** a) \( e^{-x} + x + 1 \) 
 **Explicação:** A solução geral da equação é \( y = e^{-x} + x + C \). Usando a condição 
inicial, encontramos \( C = 1 \). 
 
17. **Problema 17:** Calcule \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \pi \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[-\cos(x)\right]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
18. **Problema 18:** Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)? 
 a) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) 
 d) \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é dada por \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \). 
 
19. **Problema 19:** Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 
\frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) = \frac{3 + 10}{15} = \frac{13}{15} \). 
 
20. **Problema 20:** Qual é a integral \( \int e^{2x} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 b) \( e^{2x} + C \) 
 c) \( 2e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Portanto, \( \int e^{2x} 
\, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \). 
 
21. **Problema 21:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).