Qual é o valor de \( an(360^ extcirc - 75^ extcirc) \)? A) \( 1 \) B) \( -1 \) C) \( \sqrt{3} \) D) \( -\sqrt{3} \)

Para resolver a questão, vamos usar a identidade da tangente: \[ \tan(360^\circ - 75^\circ) = \tan(-75^\circ) \] Sabemos que \(\tan(-\theta) = -\tan(\theta)\), então: \[ \tan(-75^\circ) = -\tan(75^\circ) \] Agora, precisamos calcular \(\tan(75^\circ)\). Podemos usar a fórmula da tangente da soma: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} \] Sabendo que \(\tan(45^\circ) = 1\) e \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), temos: \[ \tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Portanto, \(\tan(-75^\circ) = -\tan(75^\circ)\). Agora, precisamos verificar o valor de \(\tan(75^\circ)\). Para simplificar, podemos usar a aproximação ou calcular diretamente, mas sabemos que \(\tan(75^\circ)\) é positivo e maior que 1. Assim, \(\tan(-75^\circ)\) será negativo. Dentre as opções dadas, a única que se encaixa é: B) \( -1 \) Portanto, a resposta correta é B) \( -1 \).