Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \).

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \( \tan(3x) \) é \( 3\sec^2(3x) \). - A derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sec^2(3x)}{1} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \sec^2(3 \cdot 0) = \sec^2(0) = 1 \] 4. Portanto, o limite é: \[ 3 \cdot 1 = 3 \] Assim, temos que: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \]