Calcule o limite \\lim_{x o 0} rac{ ext{tan}(5x)}{x}.

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1\). Primeiro, fazemos uma substituição: - Seja \(u = 5x\). Assim, quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Agora, reescrevemos o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \cdot \frac{5u}{5x} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \] Sabemos que \(\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1\). Portanto: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \cdot 1 = 5 \] Assim, o resultado é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \]