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**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 5\), então \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5\). 
 
3. **Problema 3:** Calcule a derivada de \(f(x) = e^{2x} \cdot \cos(3x)\). 
 a) \(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\) 
 b) \(2e^{2x} \sin(3x) + 3e^{2x} \cos(3x)\) 
 c) \(e^{2x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))\) 
 d) \(e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))\) 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = 
\cos(3x)\). Temos \(u' = 2e^{2x}\) e \(v' = -3\sin(3x)\). Portanto, \(f'(x) = 2e^{2x} \cos(3x) - 
3e^{2x} \sin(3x)\). 
 
4. **Problema 4:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} + 3y = 6\). 
 a) \(y = Ce^{-3x} + 2\) 
 b) \(y = Ce^{3x} + 2\) 
 c) \(y = Ce^{-3x} - 2\) 
 d) \(y = 3Ce^{-x} + 2\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-3x} + 2\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por \(y = Ce^{-3x} + \frac{6}{3} = Ce^{-3x} + 2\). 
 
5. **Problema 5:** Calcule o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 **Explicação:** Esta é a famosa série de Basel, que converge para \(\frac{\pi^2}{6}\). É 
um resultado conhecido na teoria dos números. 
 
6. **Problema 6:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 c) \(\ln(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x}dx\). A 
integral se transforma em \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C\). 
 
7. **Problema 7:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Assim, 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
8. **Problema 8:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
9. **Problema 9:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 4}\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), que é \(x^3\): 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5}\). 
 
10. **Problema 10:** Determine a integral \(\int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 b) \(\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 c) \(\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 **Resposta:** d) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \(u = \sin(2e^{3x})\) e 
\(dv = e^{3x}dx\). A integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida por partes 
novamente. 
 
11. **Problema 11:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{12}\) 
 b) \(\frac{1}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{12}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 
\frac{x^2}{2} + C\). Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 
\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{1}{12}\). 
 
12. **Problema 12:** Determine o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(-\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C\). Avaliando de 
0 a 1, temos \((1 - 2 + 1) - (0) = 0\). 
 
13. **Problema 13:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\).