Para resolver a equação diferencial \( y' + 2y = 3x \), vamos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = 2 \) e \( Q(x) = 3x \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). 3. Multiplicamos toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 3xe^{2x} \] 4. A equação à esquerda é a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 3xe^{2x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{2x}y = \int 3xe^{2x} \, dx \] Usando integração por partes, temos: \[ \int 3xe^{2x} \, dx = \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x} + C \] 6. Portanto: \[ e^{2x}y = \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x} + C \] 7. Dividindo por \( e^{2x} \): \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4} + Ce^{-2x} \] Agora, simplificando, temos: \[ y = Ce^{-2x} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{4} \] Comparando com as alternativas, a que mais se aproxima é a opção A, que tem um erro no termo constante. Vamos verificar as opções: A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \) B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) C) \( y = Ce^{-2x} - \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) D) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) Nenhuma das opções está correta, mas a que mais se aproxima do resultado correto é a A, considerando que o termo constante pode ter sido alterado. Portanto, a resposta correta é: A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \) (com ressalva sobre o termo constante).