Problema 52: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \). A) 0 B) 1 C) \( \infty \) D) Não existe

Para calcular o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a \( \infty \) quando \( x \) se aproxima de \( \infty \). Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 1. A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 2. A derivada de \( x^2 \) é \( 2x \). Assim, temos: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} \] Quando \( x \to \infty \), \( \frac{1}{2x^2} \) tende a 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0 \] A alternativa correta é: A) 0.