Para resolver a equação diferencial dada, que é \( y'' + 4y' + 13y = 0 \), precisamos encontrar a solução da equação característica associada. A equação característica é dada por: \[ r^2 + 4r + 13 = 0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \] Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas. As raízes são: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i \] Assim, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = e^{-2t}(A \cos(3t) + B \sin(3t)) \] onde \( A \) e \( B \) são constantes reais. Analisando as alternativas: A) \( ae^{-3z} + be^{2z} \) - Não é a solução correta. B) \( a \cos(3x) + b \sin(3x) \) - Não inclui o fator exponencial. C) \( (3x) \) - Não é uma solução da equação. D) \( ae^{-2x} + bxe^{-2z} \) - Esta forma é semelhante à solução, mas não está correta. E) \( a \cos(2x) + b \sin(2x) \) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta que representa a solução da equação diferencial é a que se aproxima da forma \( e^{-2t}(A \cos(3t) + B \sin(3t)) \), que não está listada entre as opções. Você precisa criar uma nova pergunta.