Equao diferencial parcial

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Equação diferencial parcial 
O que caracteriza uma equacao diferencial parcial (EDP)?
a) Envolve derivadas parciais de uma funcao de multiplas variaveis independentes.
b) Envolve derivadas ordinarias de uma funcao de uma variavel.
c) Contem apenas derivadas de primeira ordem.
d) Aplica-se somente a funcoes constantes.
Resposta correta: a) Envolve derivadas parciais de uma funcao de multiplas variaveis
independentes.
Explicacao: Equacoes diferenciais parciais envolvem derivadas parciais, que sao derivadas de
funcoes com mais de uma variavel independente, ao contrario das equacoes diferenciais ordinarias.
Qual das seguintes equacoes e uma equacao diferencial parcial?
a)
d
dx
dy
+y=0
b)
t
u
=k
x
2
2
u
c)
dx
2
d
2
y
3
dx
dy
+2y=0
d)
y
=x
2
+y
Resposta correta: b)
t
u
=k
x
2
2
u
Explicacao: Esta e a equacao do calor, um exemplo classico de EDP, envolvendo derivadas
parciais em relacao a duas variaveis,
t e
x.
Qual e a ordem da equacao diferencial parcial
x
2
2
u
+
y
2
2
u
=0?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
Resposta correta: b) 2
Explicacao: A ordem da equacao corresponde a maior ordem de derivada parcial presente, aqui
sendo segunda ordem.
A equacao
t
u
=D
x
2
2
u
e conhecida como:
a) Equacao da onda
b) Equacao do calor (ou difusao)
c) Equacao de Laplace
d) Equacao de transporte
Resposta correta: b) Equacao do calor (ou difusao)
Explicacao: Essa equacao modela o processo de difusao de calor em uma dimensao espacial ao
longo do tempo.
Qual tecnica e frequentemente usada para resolver equacoes diferenciais parciais lineares com
condicoes de contorno definidas?
a) Metodo da separacao de variaveis
b) Metodo de Euler
c) Metodo dos coeficientes indeterminados
d) Transformada de Fourier
Resposta correta: a) Metodo da separacao de variaveis
Explicacao: O metodo da separacao de variaveis divide a funcao desconhecida em produtos de
funcoes dependentes de uma variavel cada, simplificando a EDP em equacoes ordinarias.
A equacao
t
2
2
u
=c
2
x
2
2
u
representa:
a) Equacao da onda unidimensional
b) Equacao de Laplace
c) Equacao do calor
d) Equacao de transporte
Resposta correta: a) Equacao da onda unidimensional
Explicacao: Esta equacao modela a propagacao de ondas em uma dimensao com velocidade
c.
Qual e a principal diferenca entre uma equacao diferencial ordinaria (EDO) e uma equacao
diferencial parcial (EDP)?
a) EDO envolve derivadas em relacao a uma unica variavel independente; EDP envolve derivadas
parciais em varias variaveis.
b) EDO so pode ser resolvida numericamente; EDP tem sempre solucao analitica.
c) EDO nao envolve condicoes iniciais; EDP sempre envolve.
d) EDO e sempre linear; EDP sempre nao linear.
Resposta correta: a) EDO envolve derivadas em relacao a uma unica variavel independente; EDP
envolve derivadas parciais em varias variaveis.
Explicacao: Essa e a principal distincao conceitual entre as duas classes de equacoes.
A equacao
2
u=0, onde
2
e o operador laplaciano, e chamada de:
a) Equacao do calor
b) Equacao de Laplace
c) Equacao da onda
d) Equacao de Poisson
Resposta correta: b) Equacao de Laplace
Explicacao: A equacao de Laplace e uma EDP de segunda ordem, fundamental em problemas de
potencial e equilibrio.
Em um problema tipico de EDP, o que sao condicoes de contorno?
a) Valores especificados da solucao ou suas derivadas nas fronteiras do dominio.
b) Valores iniciais da funcao em
t=0.
c) Coeficientes da equacao diferencial.
d) A ordem da equacao.
Resposta correta: a) Valores especificados da solucao ou suas derivadas nas fronteiras do dominio.
Explicacao: Condicoes de contorno definem o comportamento da solucao nas fronteiras do dominio
espacial, essenciais para a unicidade da solucao.
A equacao diferencial parcial
t
u
+c
x
u
=0 e conhecida como:
a) Equacao de difusao
b) Equacao da onda
c) Equacao de transporte linear (ou equacao do adveccao)
d) Equacao de Laplace
Resposta correta: c) Equacao de transporte linear (ou equacao do adveccao)
Explicacao: Essa equacao modela o transporte ou movimento de uma quantidade ao longo do
espaco com velocidade constante
c.
Qual das afirmacoes abaixo e correta sobre o metodo da separacao de variaveis?
a) Aplica-se somente para equacoes nao lineares.
b) Consiste em assumir que a solucao pode ser escrita como produto de funcoes, cada uma
dependendo de uma unica variavel.
c) Nao pode ser usado para problemas com condicoes de contorno.
d) Sempre produz solucoes numericas.
Resposta correta: b) Consiste em assumir que a solucao pode ser escrita como produto de funcoes,
cada uma dependendo de uma unica variavel.
Explicacao: Essa e a ideia central do metodo, que reduz uma EDP em varias EDOs.
Em relacao a equacao de Poisson
2
u=f(x,y), o que a funcao
f(x,y) representa?
a) Fonte ou termo de carga no dominio.
b) Condicao inicial da solucao.
c) Coeficiente de difusao.
d) Constante arbitraria da solucao.
Resposta correta: a) Fonte ou termo de carga no dominio.
Explicacao: A funcao
f(x,y) representa um termo nao homogeneo que indica fontes, cargas ou forcas no problema.
A equacao
x
2
2
u
+
y
2
2
u
=0 e um exemplo classico de:
a) Equacao parabolica
b) Equacao eliptica
c) Equacao hiperbolica
d) Equacao linear de primeira ordem
Resposta correta: b) Equacao eliptica
Explicacao: Equacoes de Laplace sao do tipo eliptico, associadas a problemas de equilibrio
estatico.
O que significa uma solucao estacionaria em uma equacao diferencial parcial?
a) Solucao que nao depende do tempo.
b) Solucao que cresce indefinidamente.
c) Solucao que e sempre zero.
d) Solucao oscilatoria no tempo.
Resposta correta: a) Solucao que nao depende do tempo.
Explicacao: Solucoes estacionarias sao independentes da variavel temporal, correspondendo a
estados de equilibrio.
A equacao
t
u
=
2
u pode ser usada para modelar:
a) Propagacao de ondas em um meio elastico.
b) Difusao de calor em um corpo.
c) Movimento de fluidos incompressiveis.
d) Vibracao de cordas.
Resposta correta: b) Difusao de calor em um corpo.
Explicacao: Esta e a equacao do calor em forma multidimensional, representando processos de
difusao termica.
Qual dos seguintes operadores diferenciais e conhecido como operador Laplaciano?
a)
x
+
y
b)
x
2
2
+
y
2
2
c)
t
d)
t
2
2
c
2
x
2
2
Resposta correta: b)
x
2
2
+
y
2
2
Explicacao: O operador Laplaciano e a soma das derivadas parciais de segunda ordem em todas
as direcoes espaciais.
O que caracteriza uma equacao diferencial parcial linear?
a) A funcao incognita e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares, sem produtos ou
potencias.
b) A equacao contem somente termos constantes.
c) A equacao nao possui derivadas.
d) A solucao e sempre uma funcao polinomial.
Resposta correta: a) A funcao incognita e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares,
sem produtos ou potencias.
Explicacao: Linearidade implica que nao haja termos que envolvam produtos ou potencias da
funcao incognita ou suas derivadas.
Em problemas envolvendo a equacao do calor, o que geralmente representa a constante
?
a) Velocidade de propagacao da onda
b) Coeficiente de difusao termica
c) Taxa de crescimento populacional
d) Frequencia angular
Resposta correta: b) Coeficiente de difusao termica
Explicacao: A constante
 determina a rapidez com que o calor se difunde pelo meio.
Quando uma equacao diferencial parcial e classificada como hiperbolica?
a) Quando seu discriminante e positivo, associado a propagacao de ondas.
b) Quando a equacao nao possui derivadas de segunda ordem.
c) Quando a solucao e constante no tempo.
d) Quando e homogenea e linear.
Resposta correta: a) Quando seu discriminante e positivo, associado a propagacao de ondas.
Explicacao: A classificacao hiperbolica esta ligada a natureza das solucoes, tipicamente ondas ou
propagacao de sinais.
Qual das seguintes equacoes diferenciais parciais modela a propagacao de uma onda?
a)t
u
=D
x
2
2
u
b)
t
2
2
u
=c
2
x
2
2
u
c)
2
u=0
d)
t
u
+v
x
u
=0
Resposta correta: b)
t
2
2
u
=c
2
x
2
2
u
Explicacao: Esta e a equacao da onda, descrevendo a propagacao de ondas em um meio com
velocidade
c.
Se quiser, posso continuar com mais perguntas sobre equacoes diferenciais parciais!