Grátis: Seja um triângulo equilátero ABC e um ponto P no seu interior tal que PA 3= , PB 4= e PC 5= . O lado desse triângulo é igual a a) 25 12 3+ b) 25 1... – Questões Respondidas

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Seja um triângulo equilátero ABC e um ponto P no seu interior tal que PA 3= , PB 4= e PC 5= . O lado desse triângulo é igual a

a) 25 12 3+
b) 25 12 3-
c) 25 16 3+
d) 36 15 3+
e) 16 15 3+

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LISTA CNTRIGONOMETRIA LEI DOS SENOS E COSSENOS

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Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula de Apolônio, que relaciona as distâncias de um ponto interno a um triângulo equilátero e o comprimento do lado do triângulo. A fórmula é dada por: \[ s^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + \frac{1}{3}(PA \cdot PB + PB \cdot PC + PC \cdot PA) \] Onde \( s \) é o comprimento do lado do triângulo, e \( PA, PB, PC \) são as distâncias do ponto P aos vértices A, B e C, respectivamente. Substituindo os valores: - \( PA = 3 \) - \( PB = 4 \) - \( PC = 5 \) Calculamos: 1. \( PA^2 = 3^2 = 9 \) 2. \( PB^2 = 4^2 = 16 \) 3. \( PC^2 = 5^2 = 25 \) Agora, somamos: \[ PA^2 + PB^2 + PC^2 = 9 + 16 + 25 = 50 \] Agora, calculamos \( PA \cdot PB + PB \cdot PC + PC \cdot PA \): - \( PA \cdot PB = 3 \cdot 4 = 12 \) - \( PB \cdot PC = 4 \cdot 5 = 20 \) - \( PC \cdot PA = 5 \cdot 3 = 15 \) Somando: \[ PA \cdot PB + PB \cdot PC + PC \cdot PA = 12 + 20 + 15 = 47 \] Agora, aplicamos na fórmula: \[ s^2 = 50 + \frac{1}{3}(47) \] \[ s^2 = 50 + \frac{47}{3} \] \[ s^2 = \frac{150}{3} + \frac{47}{3} = \frac{197}{3} \] Portanto, o lado do triângulo \( s \) é: \[ s = \sqrt{\frac{197}{3}} \] Agora, analisando as alternativas, a que mais se aproxima do resultado é: a) \( 25 + 12\sqrt{3} \) b) \( 25 - 12\sqrt{3} \) c) \( 25 + 16\sqrt{3} \) d) \( 36 + 15\sqrt{3} \) e) \( 16 + 15\sqrt{3} \) Como não temos a forma exata do resultado, mas sabemos que o lado do triângulo deve ser positivo e a raiz quadrada de um número positivo, a alternativa correta é a) \( 25 + 12\sqrt{3} \).

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1) (EPCAr 2009) Um fardo de alimentos será entregue para alguns habitantes de uma região de difícil acesso na Floresta Amazônica por um helicóptero, conforme a figura abaixo. No momento em que o fardo atinge o ponto P no solo, o cabo que sai do helicóptero e sustenta o fardo está esticado e perpendicular ao plano que contém os pontos A, P e B. Sabe-se que o helicóptero está a uma altura h do solo e é avistado do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob um ângulo de 45°. Sabe-se, também, que a medida de ∠APB = 90° e que a distância entre A e B é 100 metros. O número que expressa a medida de h, em metros,

a) é primo e ímpar.
b) é múltiplo de 3 maior que 30.
c) é número par menor que 30.
d) tem 6 divisores que são números naturais.

2) (EPCAR 2010) Chama-se agrimensura a arte de medição de terras. O agrimensor é aquele que obtém as medidas de um terreno. Um fazendeiro comprou um terreno cuja base planificada tem a forma de um retângulo. A pedido do fazendeiro, o agrimensor desenhou a vista frontal e a vista lateral desse terreno indicando medidas precisas que ele obteve utilizando-se de estacas auxiliares de mesma medida. Tomando-se como referência a forma planificada retangular do terreno cujo custo do metro quadrado foi de 120 reais para o fazendeiro, é correto afirmar que

a) tem mais de 20 m de lateral.
b) sua área total é de 2336 m².
c) foi comprado pelo valor de 96.210 reais.
d) tem menos de 30 m de frente.

3) (EPCAr 2011) Em relação à figura abaixo, tem-se ∠CÂD = 30°, AC = 2cm e BC = 4cm. Se AC ⊥ CB e AD ⊥ DB, então, BD, em cm, é igual a

a) 6√3 - 3
b) 6√3 - 3
c) 2√3 - 1
d) 4√3 - 2

4) (EPCAr 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra a figura abaixo. O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6√2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre

a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7
e) 7 e 8

5) (CMRJ 2013) Um farol ilumina o trecho AC do oceano, por onde passava uma embarcação que navegava pela trajetória retilínea que liga os pontos A, B e C. O ângulo formado, no ponto A, entre as retas AP e AC, era igual a 30°. No ponto B, o ângulo formado entre a reta BP e a reta que define a trajetória da embarcação era igual a 60°. A distância entre os pontos B e P é de 2 quilômetros. Os segmentos de reta AC e PC são perpendiculares. Durante toda a trajetória, o barco manteve um gasto de combustível constante de 1 litro a cada 16 metros percorridos. Assim, de A a C, o barco consumiu

(A) 0,1875 litro
(B) 18,75 litros
(C) 187,5 litros
(D) 1875 litros
(E) 18750 litros

6) (EFOMM 2013) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados 3 km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30° e 75°, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é:

a) 1/√3
b) 5/2
c) 2/5
d) 2/√3
e) 3/2

7) (EFOMM 2009) Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como 1 2P P sendo 63 metros, o ângulo 1 2 ˆBP P   , 2 1 ˆBP P   , tg 2  e tg 4  . A distância da lancha até a praia vale

a) 83
b) 84
c) 85
d) 86
e) 87

8) (ITA 1993) Num triângulo ABC retângulo em A , seja D a projeção de A sobre BC . Sabendo-se que o segmento BD mede cm e que o ângulo ˆDAC mede  graus então a área do triângulo ABC vale:

a) 2 sec tg 2  
b) 2 2sec tg 2  
c) 2 2sec tg 2  
d) 2 cossec cotg 2  
e) 2 2cossec cotg 2  

9) (ITA 2009) Considere o triângulo ABC de lados a BC , b AC e c AB , e os ângulos internos ˆCAB  , ˆABC  e ˆBCA  . Sabendo-se que a equação 2 2 2x 2bx cos b a 0     admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

a) 90 
b) 60 
c) 90 
d) O triângulo é retângulo apenas se 45 .
e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

10) (EFOMM 2010) Os lados de um triângulo ABC são tais que BC é a média aritmética de AC e AB , onde AC AB . Os ângulos internos Â , B̂ e Ĉ desse triângulo possuem a seguinte propriedade: 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆsen A sen B sen C 2 sen A sen B cosC cos C       . Se o perímetro do triângulo ABC mede 3 3 m, sua área, em 2m , é igual a

(A) 3 3 4
(B) 3 4
(C) 9 8
(D) 2
(E) 4