Calcule a integral ∫_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) dx. a) 0 b) 1 c) 1/4 d) -1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx\), podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integral do polinômio: \[ \int (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{5x^5}{5} + \frac{10x^4}{4} - \frac{10x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - x + C \] Simplificando: \[ = \frac{x^6}{6} - x^5 + \frac{5x^4}{2} - \frac{10x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - x + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: Agora, precisamos avaliar essa integral de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^6}{6} - 1^5 + \frac{5(1^4)}{2} - \frac{10(1^3)}{3} + \frac{5(1^2)}{2} - 1 \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - 0^5 + \frac{5(0^4)}{2} - \frac{10(0^3)}{3} + \frac{5(0^2)}{2} - 0 \right] \] Isso se simplifica para: \[ \frac{1}{6} - 1 + \frac{5}{2} - \frac{10}{3} + \frac{5}{2} - 1 \] 3. Calculando: Agora, vamos calcular: \[ = \frac{1}{6} - 1 - 1 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{10}{3} \] \[ = \frac{1}{6} - 2 + 5 - \frac{10}{3} \] \[ = \frac{1}{6} + 3 - \frac{10}{3} \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 6 e 3 é 6: \[ = \frac{1}{6} + \frac{18}{6} - \frac{20}{6} = \frac{1 + 18 - 20}{6} = \frac{-1}{6} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx = 0\). A alternativa correta é: a) 0.