Problema 11: Calcule a integral ∫_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) dx. a) 0 b) 1/4 c) 1/3 d) 1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-x^3\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada de \(f(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^3 + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\) - \(F(0) = \frac{0^4}{4} - 0^3 + 2 \cdot 0 = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{4} - 0 = \frac{5}{4} \] Como essa resposta não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro na análise da função. Na verdade, a integral de \(x^3 - 3x^2 + 2\) pode ser reanalisada. O polinômio pode ser fatorado ou simplificado, mas a integral direta já nos dá a resposta correta. Portanto, a resposta correta é que a integral resulta em \(\frac{5}{4}\), que não está nas opções. Se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a mais próxima seria a alternativa a) 0, mas isso não é correto. Você deve revisar a questão ou as opções fornecidas.