Problema 43: Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( \frac{1}{5} \) c) \( \frac{1}{10} \) d) \( 1 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] 2. Integral de \( -2x^3 \): \[ \int -2x^3 \, dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2} \] 3. Integral de \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3} \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^3}{3} \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right] \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de \( 5, 2 \) e \( 3 \) é \( 30 \). Convertendo as frações: \[ \frac{1}{5} = \frac{6}{30}, \quad -\frac{1}{2} = -\frac{15}{30}, \quad \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \] Agora somamos: \[ \frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30} \] Portanto, o valor da integral é \( \frac{1}{30} \). No entanto, essa opção não está entre as alternativas. Vamos verificar se houve algum erro nas opções. Como não temos a opção correta, a resposta correta não está listada. Você pode criar uma nova pergunta ou verificar as opções fornecidas.