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35. **Problema 35**: Calcule a integral \( \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a técnica de integração por partes, obtemos a solução 
indicada. 
 
36. **Problema 36**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 10 \) 
 **Resposta**: c) \( 5 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \), temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
37. **Problema 37**: Qual é a solução da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução característica é \( r^2 + 4 = 0 \), resultando em raízes 
complexas \( r = \pm 2i \). 
 
38. **Problema 38**: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 
\frac{3x^2}{2}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}\right) = 1 \). 
 
39. **Problema 39**: Determine o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \), a integral se 
torna \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, dx \). 
 
40. **Problema 40**: Calcule o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \), temos \( dx = 2 du \) e a 
integral se torna \( \int \frac{2}{4u^2 + 1} \, du = 2 \cdot \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = 
\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \). 
 
41. **Problema 41**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: c) \( 2 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
42. **Problema 42**: Calcule a integral \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 - x^2 + 4x + C \) 
 c) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + C \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^4 + 4x + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 
4x\right] + C \). 
 
43. **Problema 43**: Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{10} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - 
\frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = (0) - (0) = 0 \). 
 
44. **Problema 44**: Calcule a integral \( \int e^{x} \sin(e^{x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 b) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a técnica de integração por partes, obtemos a solução 
indicada. 
 
45. **Problema 45**: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^5 + 2x^3}{2x^5 + 4} 
\). 
 a) \( \frac{3}{2} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \)