Um triângulo tem um ângulo de 30 graus e um lado adjacente de 10 cm. Qual é o comprimento do lado oposto? a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm

Para resolver essa questão, podemos usar a relação trigonométrica do seno, que é definida como: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{lado oposto}}{\text{hipotenusa}} \] No entanto, como temos o lado adjacente e o ângulo, podemos usar a tangente: \[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{lado oposto}}{\text{lado adjacente}} \] Sabemos que \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) ou aproximadamente 0,577. Dado que o lado adjacente é 10 cm, podemos escrever: \[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{lado oposto}}{10} \] Substituindo: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{lado oposto}}{10} \] Multiplicando ambos os lados por 10: \[ \text{lado oposto} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 5,77 \text{ cm} \] Como essa medida não está entre as opções, vamos usar a relação do seno para encontrar a hipotenusa e, em seguida, o lado oposto. Usando a relação do cosseno: \[ \cos(30^\circ) = \frac{\text{lado adjacente}}{\text{hipotenusa}} \] Sabemos que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{\text{hipotenusa}} \] Resolvendo para a hipotenusa: \[ \text{hipotenusa} = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx 11,55 \text{ cm} \] Agora, usando o seno para encontrar o lado oposto: \[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{lado oposto}}{\text{hipotenusa}} \] Sabemos que \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2} = \frac{\text{lado oposto}}{11,55} \] Multiplicando ambos os lados por 11,55: \[ \text{lado oposto} \approx 5,77 \text{ cm} \] A opção mais próxima e correta é a) 5 cm.