Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\)? A) \(0\) B) \(1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos simplificar a integral calculando a integral de cada termo separadamente: 1. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5}\) 2. \(\int_0^1 -4x^3 \, dx = -4\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1\) 3. \(\int_0^1 6x^2 \, dx = 6\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) 4. \(\int_0^1 -4x \, dx = -4\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2\) 5. \(\int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1\) Agora, somamos todos os resultados: \[ \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{5}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a expressão da integral está correta ou se há um erro nas opções.